序

CRC的全称是循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check），具体的描述可以参考：百度百科：CRC （循环冗余校验），地址为：https://baike.baidu.com/item/CRC/1453359

网上各种各样的讲CRC的内容够多了，本篇文章的目的在于用最简单的方式讲清楚CRC，重在科普、实战和应用，并给出代码实现，数学好的同学不要找我抬杠，谢谢！

CRC的本质是什么？

CRC的目的是保证数据的完整性，其方法是在发送数据的后面再增加多余的若干位数据，接收方使用同样的CRC计算方法，检查接收到的数据CRC是否为0：

• 如果为0，则表示数据是完整的，接收方可以开开心心的去处理这个数据。
• 如果不为0，则表示数据不完整/出错，接收方就需要处理下这个数据（一般是丢弃/要求重发）。

那么CRC的核心算法就是如何通过一堆“发送数据”，来计算“多余的若干数据”。

CRC采用的策略是用除法求余数，这就是CRC算法的本质。

不同于十进制的除法运算，CRC用的是二进制的除法运算，二进制的除法运算，属于模二运算，模二运算的特点是：没有进位。

模二加法：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0

模二减法：0-0=0 0-1=1 1-0=1 1-1=0

模二乘法：0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1

模二除法：是模二乘法的逆运算，参见下图示例

好了，这里我们先给一个例子，我们来计算0x1C的CRC8的校验结果：

如上图，在这个示例中：

• CRC8的多项式是x8+x2+x+1，对应的除数就是二进制100000111
• 被除数是0x1C，转化成二进制就是00011100
• CRC8为8位，被除数后面补8个0
• 最后的计算结果是0x54

CRC的细节

在上一小节中，我们给出了一个简单的CRC8的例子，细心的同学可能看到了，这里面还有初始值，结果异或值，输入数据反转和输出数据反转，都是什么呢？

简单而言：

• 初始值是给CRC计算一个初始值，可以是0，也可以是其他值；结果异或值是把计算结果再异或某一个值；这么做的目的是防止全0数据的CRC一直为0。
• 输入数据反转是指输入数据以字节为单位按位逆序处理；输出数据反转是指CRC计算结果整体按位逆序处理；这么做的目的我看到的一个合理解释是右移比左移更容易计算，效率高，它跟大小端无关。

我们再把上面CRC8的例子分解开来看，把CRC校验码如何计算的细节讲清楚：

第一步，我们列出除数，被除数。

第二步，CRC8的输入数据反转为False，所以0x1C仍然是：00011100。

第三步，CRC8补8个0。

第四步，CRC8先计算初始值（0x00），此时被除数保持不变。

第五步，进行模二除法运算，得到结果（0101 0100）。

第六步，CRC8的输出数据反转为False，所以计算结果仍然是：0101 0100。

第七步，CRC的输出异或值（0x00），结果保持不变，最终结果为0x54。

因为模二加减运算的特性，一般计算数包括全0时，步骤可以省略：

• 初始值为全0时，被除数不变。
• 结果异或值为0时，结果不变。

如果大家学习过异或操作，可以看到模二加减法实际上就是异或操作，这也是CRC很容易在实际中应用的数学基础。

下面给出了其他的几个示例，包括了数据反转，初始化值和结果异或值，弄清楚了这些例子，CRC就完全搞清楚了。

CRC4-itu，多项式：x4+x+1，输入数据反转，输出数据反转，初始值0x00，输出异或值0x00。

0x1C的CRC4-itu校验码为0x2。

CRC16-modbus，多项式：x16+x15+x2+1，输入数据反转，输出数据反转，初始值0xFFFF，输出异或值0x0000。

0x1C的CRC16-modbus校验码为0x89EB。

CRC5-usb，多项式：x5+x2+1，输入数据反转，输出数据反转，初始值0x1F，输出异或值0x1F。

0x1C的CRC5-usb校验码为0x0D。

总结一下计算CRC的二进制除法过程：

1. 如果输入数据反转为True，对输入数据按字节进行反转作为被除数；否则直接将输入数据作为被除数。
2. 被除数补0，CRC码为几位就补几个0，CRC4补4个0，CRC5补5个0，...，CRC32补32个0。
3. 如果初始值不为0，第一步计算需要先把被除数同初始值做模二加法运算（异或）。
4. 进行二进制除法运算，求得余数，得到结果。
5. 如果结果异或值不为0，那么最后的结果需要同结果异或值做异或运算。
6. 如果输出数据反转为True，那么最终的结果还需要按位进行反转。

最后给一个0x1C2D（2字节）的CRC4-itu示例，供参考。

CRC优化-crc表

由于CRC的计算过程中需要不停的循环做异或运算，占用CPU较多，算法上有一种空间换时间的做法：提前把0x00-0xFF共256个数据的CRC码提前算好保存，那么计算时可以节省CPU，这个提前算好的表叫CRC表（CRC表仅与多项式有关）。

这里特别需要说明下，为什么CRC表仅与多项式有关？

如果你理解了CRC的原理，会发现：输入初始值，输入数据反转，输出数据反转，结果异或值都是跟输入输出数据相关的，那么CRC表（指通用的CRC表）仅仅只与多项式（Poly）有关。

但我们在应用中受资源限制，一般会做一些处理，即：把输入数据反转和输出数据反转体现到CRC表中。

我们先来说说CRC表的生成示例，网上给的CRC16表一般是2种，一种最后两个分别是0x0ED1和0x1EF0，另外一种最后两个分别是0x8081和0x4040，实际上这两个分别对应的是CRC16/CCITT_FALSE和CRC16/MODBUS。

看懂了如上的计算原理，那么CRC表的原理就很清楚了；修改算法参数，就可以生成任意的CRC表。

下面给出常用的CRC16的示例和生成CRC的代码，供参考：

private static ushort[] crc16_table_0x1021 =
{
    0x0000, 0x1021, 0x2042, 0x3063, 0x4084, 0x50A5, 0x60C6, 0x70E7,
    0x8108, 0x9129, 0xA14A, 0xB16B, 0xC18C, 0xD1AD, 0xE1CE, 0xF1EF,
    0x1231, 0x0210, 0x3273, 0x2252, 0x52B5, 0x4294, 0x72F7, 0x62D6,
    0x9339, 0x8318, 0xB37B, 0xA35A, 0xD3BD, 0xC39C, 0xF3FF, 0xE3DE,
    0x2462, 0x3443, 0x0420, 0x1401, 0x64E6, 0x74C7, 0x44A4, 0x5485,
    0xA56A, 0xB54B, 0x8528, 0x9509, 0xE5EE, 0xF5CF, 0xC5AC, 0xD58D,
    0x3653, 0x2672, 0x1611, 0x0630, 0x76D7, 0x66F6, 0x5695, 0x46B4,
    0xB75B, 0xA77A, 0x9719, 0x8738, 0xF7DF, 0xE7FE, 0xD79D, 0xC7BC,
    0x48C4, 0x58E5, 0x6886, 0x78A7, 0x0840, 0x1861, 0x2802, 0x3823,
    0xC9CC, 0xD9ED, 0xE98E, 0xF9AF, 0x8948, 0x9969, 0xA90A, 0xB92B,
    0x5AF5, 0x4AD4, 0x7AB7, 0x6A96, 0x1A71, 0x0A50, 0x3A33, 0x2A12,
    0xDBFD, 0xCBDC, 0xFBBF, 0xEB9E, 0x9B79, 0x8B58, 0xBB3B, 0xAB1A,
    0x6CA6, 0x7C87, 0x4CE4, 0x5CC5, 0x2C22, 0x3C03, 0x0C60, 0x1C41,
    0xEDAE, 0xFD8F, 0xCDEC, 0xDDCD, 0xAD2A, 0xBD0B, 0x8D68, 0x9D49,
    0x7E97, 0x6EB6, 0x5ED5, 0x4EF4, 0x3E13, 0x2E32, 0x1E51, 0x0E70,
    0xFF9F, 0xEFBE, 0xDFDD, 0xCFFC, 0xBF1B, 0xAF3A, 0x9F59, 0x8F78,
    0x9188, 0x81A9, 0xB1CA, 0xA1EB, 0xD10C, 0xC12D, 0xF14E, 0xE16F,
    0x1080, 0x00A1, 0x30C2, 0x20E3, 0x5004, 0x4025, 0x7046, 0x6067,
    0x83B9, 0x9398, 0xA3FB, 0xB3DA, 0xC33D, 0xD31C, 0xE37F, 0xF35E,
    0x02B1, 0x1290, 0x22F3, 0x32D2, 0x4235, 0x5214, 0x6277, 0x7256,
    0xB5EA, 0xA5CB, 0x95A8, 0x8589, 0xF56E, 0xE54F, 0xD52C, 0xC50D,
    0x34E2, 0x24C3, 0x14A0, 0x0481, 0x7466, 0x6447, 0x5424, 0x4405,
    0xA7DB, 0xB7FA, 0x8799, 0x97B8, 0xE75F, 0xF77E, 0xC71D, 0xD73C,
    0x26D3, 0x36F2, 0x0691, 0x16B0, 0x6657, 0x7676, 0x4615, 0x5634,
    0xD94C, 0xC96D, 0xF90E, 0xE92F, 0x99C8, 0x89E9, 0xB98A, 0xA9AB,
    0x5844, 0x4865, 0x7806, 0x6827, 0x18C0, 0x08E1, 0x3882, 0x28A3,
    0xCB7D, 0xDB5C, 0xEB3F, 0xFB1E, 0x8BF9, 0x9BD8, 0xABBB, 0xBB9A,
    0x4A75, 0x5A54, 0x6A37, 0x7A16, 0x0AF1, 0x1AD0, 0x2AB3, 0x3A92,
    0xFD2E, 0xED0F, 0xDD6C, 0xCD4D, 0xBDAA, 0xAD8B, 0x9DE8, 0x8DC9,
    0x7C26, 0x6C07, 0x5C64, 0x4C45, 0x3CA2, 0x2C83, 0x1CE0, 0x0CC1,
    0xEF1F, 0xFF3E, 0xCF5D, 0xDF7C, 0xAF9B, 0xBFBA, 0x8FD9, 0x9FF8,
    0x6E17, 0x7E36, 0x4E55, 0x5E74, 0x2E93, 0x3EB2, 0x0ED1, 0x1EF0,
};

生成CRC表的代码如下：

private static ushort[] generate_crc16_table(ushort poly)
{
    ushort crc;
    ushort[] table = new ushort[256];
    for (int index = 0; index < 256; index++)
    {
        crc = (ushort)(index << 8);
        for (int i = 0; i < 8; i++)
        {
            if ((crc & 0x8000) != 0)
            {
                crc = (ushort)((crc << 1) ^ poly);
            }
            else
            {
                crc = (ushort)(crc << 1);
            }
        }
        table[index] = crc;
    }
    return table;
}

代码地址

gitee地址：https://gitee.com/anyangchina/crc_all

参考文献

• http://www.sunshine2k.de/articles/coding/crc/understanding_crc.html
• http://users.ece.cmu.edu/~koopman/pubs/KoopmanCRCWebinar9May2012.pdf
• http://srecord.sourceforge.net/crc16-ccitt.html
• https://reveng.sourceforge.io/crc-catalogue/all.htm