【神奇的数字7】

1 余数的表达式

任意一个整数被 7 除以后的结果（商），可以除尽时只有整数，余数为 0。不能除尽则存在余数（范围1～6）。

先看一下余数用7除以后的数据：

1/7 = 0.142857

2/7 = 0.285714

3/7 = 0.428571

4/7 = 0.571428

5/7 = 0.714285

6/7 = 0.857142

其实，上述结果只是近似值。余数用小数点表示， 应该是 0.142857 的周期性的无限循环的。设：

a = 0.142857（余数1产生的一段小数）

q = 10^（-6）（循环周期）

k = 1，2，3，4……，直至无穷大， 表示a的周期性循环次数。

s 是任意一个整数被 7 除后的余数用小数点表示的精确值，则

s = a*（1+q +q^2+q^3+……+q^k）①

s*q = a*｛q +q^2+q^3+……+q^（k+1）｝②

①-②，

s*（1-q）= a*｛1-q^（k+1）｝

所以

…………………………………

s = a*｛1-q^（k+1）｝/（1-q）

…………………………………

这就是任意一个整数被 7 除后，余数为 1 产生的小数部分，近似值向精确值逼近表示的表达式。显然 k 越大越精确，根据计算精确度需要选定。

例如：

某个整数被7除以后余数是1，代入公式，它的余数被7除用小数点表示k次循环近似值：

k = 0

s = a*｛1-q^（0+1）｝/（1-q）

= a*｛1-q^（1）｝/（1-q）

= a

= 0.142857

k = 1

s = a*｛1-q^（k+1）｝/（1-q）

= a*｛1-q^（1+1）｝/（1-q）

= a*｛1-q^2｝/（1-q）

= a*｛1+q｝

= 0.142857*｛1+10^（-6）｝

= 0.142857142857

k = 2

s = a*｛1-q^（k+1）｝/（1-q）

= a*｛1-q^（2+1）｝/（1-q）

= a*｛1-q^3｝/（1-q）

= a*｛1+q+q^2｝

=0.142857*｛1+10^（-6）+10^（-12）｝

= 0.142857142857142857

……

还可以得到：

…………………………………

s =n* a*｛1-q^（k+1）｝/（1-q）

n = 1，2，3……6（任意整数被 7除以后产生的余数）

…………………………………

这就是任意一个整数被 7 除后，余数为 n产生的小数部分，近似值向精确值逼近表示的表达式。

2 某整数（仅1个有效数）含7个数与余数

某个整数含7的个数，即某个整数用7除以后产生的商整数部分。

从仅有1个数，右边都是0的某整数开始。

10有1个

100有14个

1000有142个

1万有1428个

10万有14285个

100万有142857个

1000万有1428571个

1个亿有14285714个

这种整数含7的个数：

1）其位数与这种整数含0的个数相同。

2）含7的个数总出现142857（独缺369）周期性无限循环。达到位数就截断。

3）怎么算出余数：

只需要看含7的个数最末位（最右边数字）与7相乘的结果的末位数，它的互补数就是余数（范围1～6）。

例如1000含7的个数142。142末位数2，则1000内被7除尽最大值末位数2*7=14，取14末位数4，则余数是6，详见图1。

实际上，某个整数位数相同的可能数字有1～9，它们含7的个数与余数，本文以10000～90000为例，详见图2。

有什么规律？

1）其位数与这种整数含0的个数相同。

2）含7的个数的起始位的数字从1～6依次序为1，2（缺3）4，5（缺6）7，8。（图2在数字的下方用→标识），然后从某位开始142857的逆时针循环，达到位数就截断。

3）70000含7的个数是10000，这样80000可看作10000，90000看作20000。但要记得在7的个数最左边加1。即：

10000有1428个7

80000有11428个7

90000有12857个7

3 某整数（不只1个有效数）含7个数与余数

可拆分成若干仅1个有效位的。最末3位，不拆分直接用心算处理。

例如，

1）整数30620拆分成

30000+620

30000有4285个7，余数5加到末3位620成625，含89个7，余数2。

于是30620含（4285+89）个7，余数2。

验算（4285+89）*7+2 = 30620

2）整数60561拆分成

60000+561

60000含8571个7，余数3加到末3位561成564，含80个7，余数4。

于是60561含（8571+80）个7，余数4。

验算（8571+80）*7+4 = 60561

3）如果仅需求最大被7整除的数，则很容易。例如，

30620只需知道30000被7除的商最后1位数是5，因而余数是5，加到620成625，被7除以后余数是2。所以30620最大被7整除的数是：

30620-2 = 30618

验算：30618/7 = 4374，余数0

60561只需知道60000被7除的商最后1位数是1，因而余数是3，加到561成564，被7除以后余数是4。所以60561最大被7整除的数是：

60561-4 = 60557

验算：60557/7 = 8651，余数0

31620 = 30000+1000+620

30000余数5，1000余数6，620+5+6=631

余数1

31620-1 = 31619

验算：31619/7 = 4517，余数0

（本文为原创）